Cara Menemukan Akar

Akar adalah titik di mana suatu fungsi berpotongan dengan sumbu x. Pencarian akar adalah proses menemukan nilai x ketika f(x) sama dengan nol. Pencarian akar sangat penting dalam matematika dan banyak aplikasi dunia nyata. Secara umum, ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menemukan akar, seperti metode grafis, metode diskriminan, metode Newton-Raphson, dan metode bagi dua. Berikut ini adalah penjelasan lebih mendetail tentang masing-masing metode.

Tampilkan Daftar Isi

1. Metode Grafis

Metode grafis adalah metode yang paling mudah dilakukan dan tidak memerlukan persamaan tertentu. Anda hanya perlu menggambar grafik fungsi di atas sumbu x dan menemukan titik di mana grafik bersentuhan dengan sumbu x. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Gambar grafik fungsi di atas sumbu x.
2. Temukan titik di mana grafik bersentuhan dengan sumbu x.
3. Titik yang didapatkan merupakan akar fungsi.

Contoh:

Dalam grafik di atas, kita bisa melihat bahwa titik di mana grafik bersentuhan dengan sumbu x adalah di sekitar x = 1.5. Oleh karena itu, akar fungsi adalah 1.5.

2. Metode Diskriminan

Metode diskriminan adalah metode yang digunakan untuk fungsi kuadrat. Persamaan umum untuk fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax² + bx + c

Untuk mencari akar dari fungsi kuadrat, kita bisa menggunakan rumus diskriminan:

D = b² - 4ac

Jika nilai D lebih besar dari nol, maka fungsi tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Jika nilai D sama dengan nol, maka fungsi tersebut memiliki satu akar real. Dan jika nilai D kurang dari nol, maka fungsi tersebut tidak memiliki akar real. Langkah-langkah metode diskriminan adalah sebagai berikut:

1. Tentukan nilai a, b, dan c dari fungsi kuadrat.
2. Hitung nilai diskriminan D dengan rumus D = b² - 4ac.
3. Jika D lebih besar dari nol, hitung akar-akar fungsi dengan rumus:
• x₁ = (-b + √D) / 2a
• x₂ = (-b - √D) / 2a
4. Jika D sama dengan nol, hitung akar fungsi dengan rumus:
• x = -b / 2a
5. Jika D kurang dari nol, maka fungsi tidak memiliki akar real.

Contoh:

Misalkan kita ingin mencari akar dari fungsi kuadrat berikut:

f(x) = x² - 4x + 3

Langkah pertama adalah menentukan nilai a, b, dan c. Dalam kasus ini, a = 1, b = -4, dan c = 3. Selanjutnya, hitung nilai D dengan rumus D = b² - 4ac = (-4)² - 4(1)(3) = 4. Karena nilai D lebih besar dari nol, maka fungsi tersebut memiliki dua akar real yang berbeda. Hitung akar-akar fungsi dengan rumus:

x₁ = (-b + √D) / 2a = (4 + 2) / 2(1) = 3

x₂ = (-b - √D) / 2a = (4 - 2) / 2(1) = 1

Oleh karena itu, akar fungsi adalah 1 dan 3.

3. Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode iteratif yang digunakan untuk menemukan akar suatu fungsi. Metode ini dapat digunakan untuk fungsi apa saja, tidak terbatas pada fungsi kuadrat saja. Prinsip kerja metode ini adalah dengan mengambil estimasi awal akar dan kemudian memperbaikinya secara berulang-ulang hingga mencapai akurasi yang diinginkan. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi f(x) yang ingin dicari akarnya.
2. Tentukan estimasi awal x₀ dari akar.
3. Hitung turunan pertama f'(x) dan turunan kedua f''(x) dari fungsi tersebut.
4. Hitung nilai x₁ dengan rumus:
• x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)
5. Jika perbedaan antara nilai x₁ dengan x₀ cukup kecil, maka x₁ merupakan akar yang diinginkan. Jika tidak, kembali ke langkah ke-3 dan ulangi langkah-langkahnya hingga mencapai akurasi yang diinginkan.

Contoh:

Misalkan kita ingin mencari akar dari fungsi berikut:

f(x) = x³ - 5x² + 3

Langkah pertama adalah menentukan estimasi awal x₀. Kita bisa menggunakan nilai 1 sebagai estimasi awal. Selanjutnya, hitung turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi tersebut:

f'(x) = 3x² - 10x

f''(x) = 6x - 10

Untuk menghitung nilai x₁, gunakan rumus:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)

Substitusikan nilai x₀ ke dalam rumus tersebut:

x₁ = 1 - (1 - 5 + 3) / (3 - 10) = 1.6

Karena perbedaan antara nilai x₁ dengan x₀ tidak cukup kecil, kita perlu mengulangi langkah-langkah tersebut dengan menggunakan nilai x₁ sebagai estimasi awal.

Dalam beberapa kasus, metode Newton-Raphson bisa jadi tidak konvergen atau bahkan divergen. Oleh karena itu, diperlukan pengujian untuk menentukan kapan metode ini dihentikan.

4. Metode Bagi Dua

Metode bagi dua, juga dikenal sebagai metode biseksi, adalah metode iteratif yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang kontinu dan selalu memotong sumbu x. Prinsip kerja metode ini adalah mengambil dua titik awal yang berada di sisi berlawanan sumbu x dan terletak di antara dua titik berbeda dari sumbu x, dan kemudian memperbaiki batas tersebut hingga akar diisolasi dalam interval tersebut. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi f(x) yang ingin dicari akarnya.
2. Tentukan dua titik awal a dan b yang berada di sisi berlawanan sumbu x dan terletak di antara dua titik berbeda dari sumbu x.
3. Hitung nilai tengah c dari interval [a, b]:
• c = (a + b) / 2
4. Hitung nilai f(c).
5. Jika f(c) sama dengan nol atau cukup mendekati nol, maka c merupakan akar. Jika tidak, tentukan interval yang baru sebagai berikut:
• Jika f(a) dan f(c) memiliki tanda yang sama, maka ambil interval baru [c, b].
• Jika f(b) dan f(c) memiliki tanda yang sama, maka ambil interval baru [a, c].
6. Perbaiki interval tersebut dengan kembali ke langkah ke-3. Ulangi langkah-langkah tersebut hingga mencapai akurasi yang diinginkan.

Contoh:

Misalkan kita ingin mencari akar dari fungsi berikut:

f(x) = x³ - 2x - 5

Pertama-tama, tentukan dua titik awal a dan b yang berada di sisi berlawanan sumbu x dan terletak di antara dua titik berbeda dari sumbu x. Kita bisa menggunakan nilai 2 dan 3 sebagai titik awal. Selanjutnya, hitung nilai tengah c dari interval [a, b]:

c = (2 + 3) / 2 = 2.5

Hitung nilai f(c):

f(2.5) = (2.5)³ - 2(2.5) - 5 = 2.625

Karena f(2.5) tidak sama dengan nol atau cukup mendekati nol, kita perlu menentukan interval yang baru. Karena f(2) dan f(2.5) memiliki tanda yang sama, kita ambil interval baru [2.5, 3].

Hitung nilai tengah c dari interval [2.5, 3]:

c = (2.5 + 3) / 2 = 2.75

Hitung nilai f(c):

f(2.75) = (2.75)³ - 2(2.75) - 5 = 0.234375

Karena f(2.75) mendekati nol, kita bisa menganggap c sebagai akar yang diinginkan. Oleh karena itu, akar fungsi adalah 2.75.

Kesimpulan

Menemukan akar adalah salah satu tugas penting di bidang matematika dan banyak aplikasi dunia nyata. Ada banyak metode yang bisa digunakan untuk menemukan akar, seperti metode grafis, metode diskriminan, metode Newton-Raphson, dan metode bagi dua. Tidak ada metode yang paling baik untuk semua kasus, dan pemilihan metode tergantung pada sifat fungsi yang ingin dicari akarnya. Oleh karena itu, pemilihan metode yang tepat sangat penting dalam menemukan akar yang diinginkan.